Interpolació espacial

Autor: Dr. Joan Nunes. Universitat Autònoma de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

 

Interpolació espacial és l'estimació dels valors d'una variable en posicions no conegudes a partir dels valors coneguts en un conjunt de punts de mostreig propers. En termes matemàtics, la interpolació és el càlcul o estimació del valor d'una funció desconeguda per a valors de la variable o variables independents per als quals es desconeix el valor de la variable dependent, coneixent els valors que pren la funció per a un cert nombre de valors de la variable o variables independents.

La interpolació es pot plantejar per qualsevol nombre de dimensions o variables independents. En el cas d'una variable independent la interpolació estima el valor de la funció d'una corba, en el cas de dues variables independents la interpolació estima els valors d'una funció de superfície. En matemàtiques es considera interpolació multivariada o interpolació espacial, la interpolació de funcions de dues o més variables independents. En el context de la informació geoespacial, la interpolació espacial comprèn la interpolació de corbes (funcions d'una dimensió) i molt especialment la interpolació de superfícies (funcions de dues dimensions, en particular de la posició definida per coordenades x,y en el pla), així com la interpolació zonal per a dades referides a àrees.

La interpolació pot tenir diferents finalitats. Pot servir simplement per a l'estimació de valors en posicions desconegudes per a resoldre necessitats pràctiques puntuals o per a obtenir una representació contínua d'un fenomen a partir d'un nombre limitat d'observacions. En d'altres casos pot tenir més interès el coneixement de la funció en sí per tal d'analitzar el fenomen i en particular descriure el seu patró de variació espacial. La interpolació pot complir també la finalitat de suavització de sèries de dades per tal d'obtenir una representació espacial d'un fenomen que presenti una variació més gradual o una millor qualitat estètica. Finalment, la interpolació pot servir també per aproximar una funció (o una representació espacial) complexa per mitjà d'una funció més simple, que malgrat els errors d'estimació proporcioni una aproximació suficient més fàcil d'obtenir i de manejar (per exemple, l'aproximació de formes lineals complexes a partir de la representació bàsica del model de dades vectorial; o la de superfícies complexes mitjançant superfícies de tendència).

La interpolació es relaciona estretament amb l'anàlisi espacial, en general, ja que tant l'estimació com la representació i la descripció de la variació espacial són parts essencials de l'anàlisi del comportament espacial dels fenòmens geogràfics; i també es relaciona, en particular, amb l'estadística espacial i la geoestadística, atès que, segons la finalitat, alguns dels mètodes d'interpolació tenen en compte i avaluen la incertesa o error de l'estimació, i es basen en mètodes d'inferència estadística.

La interpolació espacial té aplicacions en totes les disciplines que utilitzen informació goespacial. Especialment, en el cas de la interpolació de superfícies, en les disciplines que estudien fenòmens que presenten variació contínua a través de l'espai, com  és ara la geologia, la meteorologia, la biogeografia, però també l'econometria, l'epidemiologia i la geografia física i humana. Els sistemes d'informació geogràfica han ofert des de sempre un bon nombre de mètodes d'interpolació espacial.

 

Origen

Els mètodes d'interpolació són molt diversos i l'origen de cada un és diferent. Alguns mètodes, com és ara la interpolació lineal, són molt antics i eren utilitzats ja pels astrònoms babilonis per a completar dades en taules d'observacions astronòmiques, així com pels matemàtics de Mesopotàmia i Grècia en els segles III i II a.C. Altres mètodes, com la interpolació polinòmica daten de principis del segle XX (Bernstein, 1912), igual que l'ús dels polígons de Thiessen, també anomenats diagrama de Voronoi o tesselació de Dirichlet, com a mètode d'interpolació (Thiessen, 1911).

La majoria de mètodes d'interpolació de superfícies han estat formalitzats a les dècades de 1950 i 1960, formant part del desenvolupament de l'estadística espacial, de l'anàlisi espacial i de la geoestadística. Així, per exemple, l'ús de funcions polinòmiques en l'anàlisi de superfícies de tendència data de finals de la dècada de 1950 (Krumbein, 1959; Grant, 1961). Semblantment, el desenvolupament del krigatge com a mètode d'interpolació s'inicià també en aquest període (Krige, 1951; Matheron, 1962, 1963). La formalització del concepte d'spline és lleugerament anterior (Schoenberg, 1946) i sembla que l'ús de corbes de tipus spline elaborades de forma manual havia estat una pràctica habitual en la construcció aeronàutica des de la dècada de 1930, procedent de pràctiques molt més antigues pròpies de la construcció naval. Amb tot, la formulació matemàtica i ús posterior com a mètode d'interpolació o de suavització de corbes és posterior a la Segona Guerra Mundial, sobretot a partir de 1960. La interpolació ponderada per la distància inversa, d'altra banda, sembla que s’ha desenvolupat en el context específic de l'anàlisi espacial i dels sistemes d'informació geogràfica durant la dècada de 1960 al voltant, entre d'altres, de la implementació de programes com SYMAP en el Laboratory for Computer Graphics and Spatial Analysis de Harvard University (Shepard, 1968). També l'ús de la triangulació de Delaunay per a generar xarxes irregulars de triangles com a model de superfície és un mètode d'interpolació sorgit del camp dels sistemes d'informació geogràfica a principis de la dècada de 1970 (Peucker and Chrisman, 1975).

Definició

Interpolació espacial és el procés d'estimar el valor d'un atribut o variable en punts en què no ha estat mesurada a partir dels valors observats en punts en què ha estat mesurada, els quals constitueixen una forma o altra de mostreig espacial. Específicament, la interpolació és l'estimació de valors de la variable en punts dins de l'àrea coberta pels punts de mostreig, mentre que l'estimació de valors més enllà de les observacions existents s'anomena extrapolació.

La interpolació de major interès en el context de la informació geoespacial és la interpolació de superfícies. Una superfície és la representació d'un fenomen geogràfic com a magnitud que varia de forma contínua al llarg de l'espai, en funció de la posició; és a dir, una variable z funció de les dues variables de posició en el pla, o coordenades, x i y. En general, en el cas dels fenòmens geogràfics, la variable d'interès es considera o tracta com a superfície funcional; és a dir, una superfície en què a cada posició del pla només hi correspon un valor de la variable representada, com per exemple la representació del relleu per mitjà de models digitals d'elevacions. En general, totes les dades ràster de valors continus es poden interpretar com a superfícies funcionals. Quan la superfície s'obté per mitjà d'un model estadístic s'anomena superfície estadística.

D'acord amb el concepte matemàtic general d'interpolació, la interpolació pot definir-se com l'estimació de valors d'una variable dependent com a funció de qualsevol nombre de variables independents. Així, en el cas de la informació geoespacial són d'interès també la interpolació de corbes (és a dir una variable dependent y en funció d'una sola variable independent x, generalment per a representar formes geomètriques complexes d'entitats geogràfiques) i més rarament la interpolació en 3D d'una variable dependent v en funció de tres variables independents corresponents a les tres coordenades d'espai en tres dimensions x, y i z.

Generalitzant el concepte d'interpolació a tot tipus de variables, per incloure no sols les de tipus quantitatiu que presenten variació contínua en l'espai, sinó també les de tipus qualitatiu o que poden presentar un valor uniforme per a tota una àrea, en el camp de la informació geoespacial es planteja també el cas de la interpolació zonal, que estima i atribueix valors constants a àrees senceres.

La lògica de tota interpolació és l'assumpció, generalment constatable, que és més probable que els punts propers en l'espai tinguin valors semblants de l'atribut d'interès que no pas els punts més allunyats entre si. L'estimació de valors de l'atribut en posicions entre els punts en què es disposa de dades només és possible mitjançant l'ajust d'un model versemblant de variació dels valors entre els punts de valor conegut i utilitzant després aquest model per a calcular el valor de l'atribut en els punts desitjats de valor desconegut. La resolució d'un problema d'interpolació consisteix doncs a elaborar un model de variació espacial adequat a les dades observades.

En termes matemàtics, es tracta d'obtenir la funció que millor s'adequa a les observacions. L'obtenció de la funció que defineix la variació dels valors es pot plantejar com un problema d'ajust de funcions o ajust de corbes, mitjançant procediments matemàtics exactes o, més sovint, mitjançant procediments estadístics. En matemàtiques se sol anomenar interpolació al procés d'estimació basat en procediments matemàtics que proporcionen un ajust exacte de la funció als valors observats i suavització al procés basat en procediments que proporcionen un ajust aproximat de la funció als valors de les observacions. En termes aplicats, es consideren interpolació ambdós tipus de procediments i es distingeix entre mètodes d'interpolació exacta, els que proporcionen una funció tal que els valors estimats per als punts de mostreig coincideixen amb els valors observats; i mètodes d'interpolació inexacta o interpolació aproximada, aquells en què els valors estimats en els punts de mostreig no coincideixen amb els valors observats. Són exemples de mètodes d'interpolació exacta la interpolació pel veí més proper, la interpolació ponderada per la distància inversa, la interpolació per splines o la interpolació per krigatge. En canvi, la interpolació polinòmica, mitjançant superfícies de tendència, és un mètode d'interpolació inexacta.

Sovint es dóna preferència als mètodes de base estadística, considerats mètodesestocàstics o probabilístics en contrast amb els mètodes deterministes donats per una funció matemàtica, ja que permeten obtenir mesures de la bondat d'ajust de la funció d'interpolació, gràcies al fet de treballar amb més punts de mostreig que els estrictament necessaris per a obtenir una solució exacta, que seria vàlida només per als punts concrets usats en el càlcul de la funció, però no necessàriament per qualsevol altre conjunt de punts de mostra. En canvi, l'excés de punts d'observació obliga a trobar una funció que s'ajusti a tots els punts, de manera que constitueix el que s'anomena millor estimador no esbiaixat, i permet conèixer l'error o incertesa de l'estimació a partir de la diferència entre els valors estimats i els valors observats.

Una altra distinció important en interpolació espacial és la diferència entre mètodes d'interpolació global, que ajusten una funció sobre el conjunt de punts de mostreig disponibles, i mètodes d'interpolació local, que ajusten una funció sobre un nombre reduït de punts de mostreig propers. En els mètodes d'interpolació global les variacions locals no resulten ben reflectides i per tant s'utilitzen més aviat per a modelitzar aspectes o tendències generals de variació espacial a gran escala sobre el conjunt de l'àrea d'interès. Els mètodes d'interpolació local, en canvi, modelitzen adequadament les variacions locals sense afectar els valors d'interpolació en altres punts de la corba o superfície. Els mètodes d'interpolació local corresponen al que, en matemàtiques, s'anomenen funcions d'interpolació parcials (piecewise interpolation functions).

Mètodes d'interpolació de corbes

La interpolació de corbes estima una variable dependent y en funció d'una sola variable independent x. En el cas de la informació geoespacial s'utilitza generalment per a obtenir representacions més aproximades de formes geomètriques complexes d'entitats geogràfiques. En aquest sentit, s'utilitzen sovint com un mètode de suavització de corbes a partir de representacions lineals simples, com és ara una representació vectorial bàsica mitjançant un nombre reduït de vèrtexs. Alguns dels mètodes descrits a continuació són rarament emprats per a interpolació lineal en el cas de la informació geoespacial. Es presenten només a efectes d'il·lustrar els tipus de funcions bàsiques en el cas d'interpolació univant que és la més senzilla.

Interpolació pel veí més proper

La interpolació pel veí més proper és el mètode d'interpolació més simple, en qualsevol dimensió. Consisteix a identificar el punt més proper de valor conegut a la posició en què es vol estimar el valor i assignar-li el mateix valor que el punt més proper. No se sol utilitzar com a mètode d'interpolació de corbes perquè produeix una forma esglaonada, grollera i discontínua, però s'utilitza sovint en la interpolació de superfícies i en la interpolació zonal per la seva simplicitat o per la manca de mètodes alternatius millors. Lògicament és un mètode d'interpolació exacta, ja que reprodueix els valors originals en els punts d'observació, però això no constitueix cap avantatge en relació als desavantatges evidents del mètode en el cas de la interpolació de línies.

Interpolació lineal

La interpolació lineal és també un dels mètodes més simples d'interpolació de línies. Es basa en el supòsit de considerar que el valor de la variable a estimar, y, en qualsevol punt x, comprès entre dos punts x_  i x₁  de valor conegut, y_  i y₁, es troba sobre la recta que uneix els dos punts de valor conegut, segons l'equació d'aquesta recta:

Així, la interpolació lineal té lloc entre cada parell de punts consecutius. La interpolació lineal és de fet una mitjana ponderada dels valors de y en els punts x_  i x₁, inversament proporcional a la distància del punt desconegut als dos punts extrems de valor conegut, essent els pesos aplicats als valors coneguts y_  i y₁, respectivament:

que són les distàncies de x a x_  i x₁, normalitzades respecte a la distància total entre x_  i x₁.

La interpolació lineal és un cas particular, el més simple, d'interpolació polinòmica, que utilitza una funció lineal o polinomi de primer grau entre cada parell de punts i per tant és un mètode d'interpolació local. De fet, la interpolació lineal entre parells de punts consecutius és el principi bàsic de la representació vectorial de formes geomètriques mitjançant vèrtexs, que apliquen automàticament els sistemes d'informació geogràfica i, en general, qualsevol programa de dibuix o de gràfics per ordinador. En aquest sentit no constitueix una operació explícita d'interpolació per part de l'usuari. La interpolació lineal s'utilitza molt sovint amb dades no espacials per a completar sèries de dades, com per exemple sèries temporals.

Exemples de mètodes d'interpolació de corbes: a) interpolació pel veí més proper; b) interpolació lineal; c) interpolació polinòmica. En aquest darrer cas s'ha utilitzat un polinomi de grau 6 per tal d'aconseguir una funció d'interpolació exacta que passi per tots els punts de valor conegut. En general, donada la complexitat de càlcul de polinomis de grau elevat, s'utilitzen principalment polinomis de grau 2 o 3, que donarien lloc a una interpolació aproximada o inexacta. Font: https://en.wikipedia.org/wiki/interpolation

Interpolació polinòmica

La interpolació polinòmica és la generalització de la interpolació lineal, utilitzant com a funció d'interpolació un polinomi de grau 2 o superior. Pel fet de contemplar la interpolació de la funció com l'ajust d'una única funció per al conjunt de punts coneguts, la interpolació polinòmica és un mètode d'interpolació global, a diferència de la interpolació lineal, que defineix una funció de recta diferent per a cada parell de punts consecutius.

La interpolació mitjançant funcions polinòmiques es pot plantejar com un problema d'interpolació exacta o d’ajust de corbes en termes matemàtics, per tal de produir una corba que passi per tots i cada un dels punts d'observació, ja que donats n punts existeix exactament un polinomi de grau n-1 o inferior que és la solució al sistema d'equacions corresponent al conjunt de n punts. Més sovint, però la interpolació polinòmica se sol plantejar com un ajust estadístic per regressió d'una funció de grau 2 o 3 que proporciona una interpolació aproximada, però molt més fàcil de calcular per a un nombre elevat de punts i amb una avaluació de la bondat d'ajust o error d'estimació.

Altrament, els polinomis de grau elevat, a més de la dificultat de càlcul, presenten formes oscil·latòries espúries, sobretot en els extrems de la corba interpolada (efecte de Runge). Per aquest motiu, en el context aplicat de la informació geoespacial no es planteja com un problema d'interpolació exacta, sinó com un ajust per regressió. D'altra banda, donada la finalitat principal de suavització de corbes el mètode més emprat per a l'aproximació de formes complexes en el cas de la informació geogràfica és la interpolació per splines, que a diferència de la interpolació polinòmica és un mètode d'interpolació local.

Interpolació per splines

La interpolació per splines és un mètode d'interpolació local que, igual que la interpolació lineal, ajusta una funció per a parells de punts consecutius utilitzant, però, funcions polinòmiques de grau baix (2 o 3) per a cada interval, en lloc de rectes. El resultat és una corba anomenada spline.

Comparada amb la interpolació polinòmica global, la interpolació per splines és una interpolació polinòmica per parts (piecewise polinomial) que ajusta un polinomi de grau baix a cada secció de la corba, de manera que minimitzen la curvatura global i produeixen una corba suavitzada. La interpolació per splines és molt més senzilla de calcular que una funció polinòmica de grau molt elevat i no presenta els inconvenients de formes inestables o contràries al sentit comú.

La interpolació per splines es pot plantejar com una interpolació exacta, de manera que la corba resultant passi per tots els punts de mostreig o punts originals de l'element lineal, o bé com una interpolació aproximada. En qualsevol cas produeix corbes suaus, motiu pel qual s'utilitza molt en els sistemes d'informació geogràfica per a la suavització de corbes, a fi de produir representacions d'elements lineals més versemblants o estètiques que l'aproximació vectorial mitjançant vèrtexs.

Exemples d'interpolació per splines: Interpolació d'una corba entre vuit punts per mitjà d'un spline cúbic. El concepte intuïtiu d'spline correspon al de les corbes variables dibuixada a mà mitjançant una regla flexible.
Font: https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation

 

Mètodes d'interpolació de superfícies

La interpolació de superfícies o ajust de superfícies té per finalitat obtenir la funció que permet estimar el valor d'una variable en funció de la posició; és a dir, una variable z funció de les dues variables de posició en el pla, o coordenades, x i y.

Generalment la interpolació de superfícies, té sentit i s'aplica principalment a fenòmens geogràfics que presenten una variació contínua de valors a través de l'espai, de manera que la variable o magnitud representativa es pot considerar una superfície contínua o superfície diferenciable. Tanmateix el concepte ha estat generalitzat i s'aplica a tot tipus de dades que es puguin considerar funció de la posició en el pla, com per exemple qualsevol tipus de dades, contínues o categòriques, del model de dades ràster.

Així, la interpolació de superfícies s'utilitza no sols per a analitzar o predir la variació espacial de dades de superfície, sinó també i de forma molt destacada en el remostreig d'imatges i en general de dades ràster de tot tipus. Segons la naturalesa de les dades, però, cal escollir el mètode d'interpolació de superfícies apropiat.

Interpolació pel veí més proper

La interpolació pel veí més proper és un mètode d'interpolació exacta que assigna als punts de valor desconegut el valor del punt de mostreig més pròxim. En el cas d'interpolació de superfícies o de dades ràster és apropiat sobretot quan la variable o atribut a estimar com a funció de la posició és una variable categòrica mesurada en escala nominal o en escala ordinal, ja que tractant-se de valors que varien de forma discreta, la hipòtesi més plausible és assignar a un punt de valor desconegut el mateix valor que el de la posició més propera. No és un mètode apropiat en el cas de variables quantitatives, ja que en aquest cas proporciona resultats molt poc acurats, si no completament inapropiats.

Interpolació bilineal

La interpolació bilineal és l'extensió en dues dimensions de la interpolació lineal. En la interpolació bilineal els valors desconeguts es calculen com una mitjana ponderada dels quatre punts de mostreig més propers.

Interpolació bilineal. Els punts Q (en vermell) són els punts de valor conegut, el punt P (en verd) la posició per a la qual es vol estimar el valor. La interpolació bilineal primer efectua una interpolació lineal en la direcció de l'eix x, per obtenir dos punts intermedis segons els parells de punts alineats en x, i després efectua una segona interpolació lineal a partir dels punts intermedis, en la direcció de l'eix y, per estimar el valor en el punt desitjat. Font: https://en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_interpolation

La interpolació bilineal s'anomena així perquè primer efectua una interpolació lineal en la direcció d'un dels dos eixos de coordenades, i després una segona interpolació lineal en la direcció de l'altre eix. Encara que el procés seguit en cada pas és una interpolació lineal, el resultat final en la posició d'interès no és una funció lineal sinó una funció quadràtica, que utilitza el terme xy (però no els termes, x² ni y²), ja que és el producte de dues funcions lineals:

(a₁x + a₂)(a₃y + a₄)

que, efectuant el producte, es pot reformular com:

b₁+ b₂ x +b₃y +b₄ xy

La interpolació bilineal és molt utilitzada en processament d'imatges en les operacions de remostreig per a recalcular els valors de les cel·les d'una imatge o d'un ràster de valors continus, ja que és la interpolació més simple per a valors quantitatius i resulta molt fàcil d'aplicar als valors de punts alineats segons una malla regular. En el cas de punts distribuïts irregularment la interpolació bilineal no resulta apropiada ja que el procés no és directe i caldria repetir els passos fins a aconseguir estimacions en punts alineats per poder fer l'estimació final, la qual cosa degradaria el resultat en tractar-se d'estimacions a partir d'estimacions. En el cas de punts distribuïts irregularment resulta més apropiada la interpolació ponderada per la distància inversa.

Interpolació polinòmica

La interpolació polinòmica en el cas d'interpolació de superfícies s'utilitza sobretot per a l'ajust de superfícies de tendència mitjançant regressió. Es tracta d'un mètode d'interpolació global i inexacta, ja que en l'anàlisi de superfícies de tendència precisament la variació espacial es modelitza com a tendència més residu. L'ajust per mínims quadrats és en aquest cas el millor estimador lineal no esbiaixat, essent el criteri la minimització de la suma dels quadrats dels residus.

Igual que en el cas de la interpolació polinòmica de corbes (univariant), no és habitual ni recomanable l'ús de funcions polinòmiques de grau elevat. El més habitual són els polinomis de grau 2 o 3, i encara en molts casos un  polinomi de primer grau:

grau 1:  Zt_i =  a_  + a₁ x_i  + a₂ y_i

grau 2:  Zt_i =  b_  + b₁ x_i + b₂ y_i + b₃ x_i² + b₄ x_i y_i + b₅ y_i²

grau 3:  Zt_i =  c_  + c₁ x_i + c₂ y_i + c₃ x_i² + c₄ x_i y_i + c₅ y_i² + c₆ x_i³ + c₇ x_i² y_i + c₈ x_i y_i² + c₉ y_i³

En cas d'utilitzar funcions polinòmiques per parts la interpolació polinòmica de superfícies esdevé d'interpolació de superfícies per splines. La interpolació polinòmica de superfícies és aplicable tant a punts de mostreig distribuïts regularment en l'espai com irregularment.

Interpolació bicúbica

La interpolació bicúbica és un mètode d'interpolació de superfícies a partir de punts d'observació distribuïts regularment en el qual s'utilitzen funcions polinòmiques de tercer grau per a calcular el nou valor de cada posició. La interpolació bicúbica és una extensió de la interpolació cúbica pensada especialment per a dades d'observacions distribuïdes segons una malla regular (típicament, dades ràster). La interpolació bicúbica es defineix segons l'expressió:

 

           

Comparació de resultats entre la interpolació bicúbica (esquerra) i la interpolació bilineal (dreta).
Font: https://en.wikipedia.org/wiki/Bicubic_interpolation

Hi ha diversos algorismes de càlcul per a efectuar la interpolació bicúbica, entre els quals els polinomis de Lagrange, splines cúbics o la convolució bicúbica.

La interpolació bicúbica s'utilitza especialment en processament d'imatges per al remostreig d'imatges o, en general, dades ràster de valors continus, ja que produeix resultats més suaus i acurats que la interpolació bilineal, atès que utilitza un veïnat de 16 valors coneguts (4x4 cel·les) en lloc de només 4 (2x2 cel·les) com en el cas de la interpolació bilineal.

Interpolació ponderada per la distància inversa

La interpolació ponderada per la distància inversa, també coneguda per les sigles IDW (inverse distance weighted interpolation) és un mètode determinista d'interpolació adequat principalment per a punts de mostreig distribuïts de forma irregular, encara que també es pot aplicar a dades d'observacions distribuïdes regularment.

La interpolació ponderada per la distància inversa és un mètode d'interpolació exacta que estima els valors en posicions desconegudes com a mitjana ponderada dels valors dels punts de mostreig dins del radi d'interpolació, utilitzant com a pes una potència de la distància inversa entre la posició objecte d'estimació i els punts de mostreig, de manera que els pesos més alts corresponen als punts més propers i els més baixos als més allunyats. Generalment, la potència més utilitzada per a graduar el pes de la distància inversa és el quadrat:

 

on 

és el valor estimat de la variable de superfície Z a la posició j

 són els valors coneguts de la variable de superfície Z a les posicions i (1,....,n)

d_ij  és la distància entre la posició j i cada una de les posicions i que intervenen en el càlcul

Segons les implementacions, el nombre de punts de valor conegut que intervenen en l'estimació d'un valor es pot limitar mitjançant un radi de cerca a l'entorn de la posició de valor desconegut a estimar.

La interpolació ponderada per la distància inversa és un dels mètodes senzills més utilitzats per a la interpolació de dades quantitatives contínues com a funció de superfície, a partir de punts de mostreig distribuïts irregularment en l'espai. Té els inconvenients, però, de ser un mètode determinista que no utilitza ni proporciona cap coneixement sobre la variació espacial de la variable de superfície d'interès i, en canvi, obliga a decidir sense coneixement previ aspectes importants com l'exponent de la distància o el radi de cerca.

Krigatge

El krigatge és un conjunt de mètodes d'interpolació estocàstica basats en un algorisme generalitzat de millor estimació lineal no esbiaixada, que utilitza semivariogrames per a establir els factors de ponderació.

El krigatge es considera un mètode d'estimació lineal perquè el valor estimat és una combinació lineal (és a dir, una suma ponderada) dels valors observats.

 

Els pesosλ₁ (x*) són les solucions d'un sistema d'equacions lineals que s'obté assumint que f és una de les possibles realitzacions d'un procés aleatori F(x) que minimitza l'error d'estimació.

 

Per exemple, en el cas del krigatge simple, s'assumeix que la mitjana i la covariància de F(x) són conegudes i l'estimació per krigatge és la que minimitza la variància dels errors d'estimació.

El krigatge es basa en la teoria de variables regionalitzades per a incorporar informació sobre els aspectes estocàstics de la variació espacial en el càlcul de les funcions de ponderació per a la interpolació. Té l'avantatge de ser l'únic mètode d'interpolació que proporciona una manera de caracteritzar la variància de les estimacions.

El krigatge constitueix una de les bases de l'anàlisi geoestadística, i té nombroses aplicacions en prospecció minera, anàlisi geològica, anàlisi de sòls i anàlisi de contaminants, entre d'altres.

La denominació krigatge prové del nom de l'enginyer de mines sud-africà Daniel G. Krige, que en va fer la formulació inicial. Posteriorment se n'han desenvolupat un gran nombre de variants.

En estadística general el mateix mètode emprat en el krigatge es coneix amb altres noms, com és ara regressió de procés gaussià, predicció de Kolmogorov Wiener o millor predicció lineal no esbiaixada.

Funció de base radial

Una funció de base radial és una funció els valors de la qual depenen només de la distància a l'origen o, alternativament, a un punt denominat centre. Les funcions de base radial s'utilitsen com a mètodes Mètode d'interpolació determinista sense error estàndard associat en el qual la superfície interpolada es fa coincidir amb els valors dels punts de mostreig. La interpolació per splines és un exemple de funció de base radial.

Interpolació per splines de superfície

Igual que en el cas de la interpolació de corbes, es poden utilitzar splines per a interpolar superfícies. La interpolació per splines de superfície utilitza funcions polinòmiques per parts, essent cada part un polinomi de grau n que minimitza la curvatura global i produeix una superfície suavitzada.

La interpolació per splines és un mètode d'interpolació local exacta, apropiat tant per a punts de mostreig distribuïts irregularment com regularment.

Xarxa irregular de triangles

Una xarxa irregular de triangles és un model de superfície basat en la triangulació de Dealaunay, que representa la superfície mitjançant facetes triangulars que tenen com a vèrtexs (nodes) els punts de valor conegut de la superfície modelitzada. La construcció d'una xarxa irregular de triangles a partir d'un conjunt de punts de mostreig no és en si mateix un mètode d'interpolació, ja que no té per finalitat l'estimació de valors de la superfície en posicions en què és desconeguda, però pel fet de crear un model de la superfície proporciona la base per a la posterior interpolació de valors.

En efecte, a partir de la representació de la superfície mitjançant facetes triangulars, els vèrtexs de els quals tenen valor conegut de la superfície és possible determinar el valor de qualsevol punt comprès a l'interior de una faceta triangular determinada mitjançant una interpolació lineal bivariant en el pla del triangle, basada en els valors de superfície dels vèrtexs.  A més de la interpolació lineal bivariant, també es pot utilitzar la interpolació pel veí natural o la interpolació quíntica, basada en polinomis de grau 5.

Interpolació pel veí natural

La interpolació pel veí natural (Sibson, 1981) és un mètode d'interpolació per a dades d'observacions distribuïdes irregularment que utilitza una partició de polígons de Thiessen per a establir quins punts de mostreig intervenen en la interpolació del valor de superfície en una determinada posició i quin és el pes que correspon a cada punt de mostreig.

El mètode comença per establir la partició de polígons de Thiessen corresponent al conjunt de punts de mostreig disponible. Per a determinar els punts de mostreig que intervindran en l'estimació del valor en una determinada posició i el pes corresponent a cada punt, el mètode insereix la posició d'interès i recalcula la partició de polígons de Thiessen amb la nova posició inserida. Els punts de mostreig veïns de la posició d'interès inserida són els que intervindran en l'estimació del valor i el pes corresponent a cada punt de mostreig veí es determina proporcionalment a l'àrea del polígon de Thiessen centrat en la posició d'interès inclosa en cada un dels polígons de Thiessen dels punts de mostreig veïns.

Interpolació pel veí natural. L'àrea ombrejada indica el nou polígon de Thiessen resultant de recalcular la partició de polígons de proximitat com a conseqüència d'inserir un nou punt en la posició en què es vol estimar el valor de superfície. El mètode permet determinar tant els punts de mostreig que intervenen en l'estimació del valor (veïns immediats) com els pesos corresponents a cada punt (proporció de l'àrea del polígon de proximitat del punt a estimar inclosa dins cada polígon de proximitat original dels punts de mostreig). Font: https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_neighbor_interpolation

La interpolació pel veí natural, tot i ser un mètode d'interpolació determinista té l'avantatge de definir i calcular de forma lògica els punts de mostreig que influencien el valor de la superfície en una posició determinada mitjançant un criteri estricte de proximitat que no requereix decisions a priori, com en el cas de la interpolació ponderada per la distància inversa, ni una assignació tan simplificadora com la interpolació pel veí més proper.

Mètodes d'interpolació zonal

La interpolació zonal inclou el conjunt de mètodes que estimen i atribueix valors constants a àrees senceres, bé perquè es tracti de valors de variables que prenen valors categòrics discrets, o bé perquè es tracti de valors quantitatius per als quals es desitja poder atribuir un valor uniforme al conjunt de tota una àrea.

Són mètodes, per tant, que produeixen una diferenciació discreta de l'espai en àrees enlloc d'una superfície. Es consideren mètodes d'interpolació, però, en la mesura que permeten estimar valors a partir de punts, encara que siguin valors referits a àrees, atribuïts generalment de forma determinista.

Polígons de Thiessen

Els polígons de Thiessen produeixen una partició de l'espai en àrees de proximitat a partir d'un conjunt de punts distribuïts irregularment. La interpolació de valors d'àrees a partir dels valors dels punts consisteix simplement a assignar el valor del punt a la seva àrea de proximitat corresponent en la partició de polígons de Thiessen.

La interpolació per polígons de Thiessen o interpolació per proximitat és essencialment l'aplicació del mètode d'interpolació pel veí més proper a l'estimació del valor de tots els punts compresos dins de cada àrea de proximitat. La interpolació per mitjà de polígons de Thiessen és útil per a dades categòriques, atès que no hi ha gaire més mètodes disponibles, o bé per a assignat valors de punts a àrees en funció únicament de la proximitat, com en alguns aplicacions de dades meteorològiques.

Polígons de Thiessen: partició d'un espai en àrees de proximitat corresponents a un conjunt de punts.

Interpolació picnofilàctica

La interpolació picnofilàctica és un mètode d'interpolació zonal que conserva el total acumulat de la variable que cal distribuir dins l'àrea d'interès quan aquest total és conegut. La interpolació picnofilàctica s'utilitza per a estimar funcions de densitat dins d'unitats territorials sabent el nombre total de la variable per a cada zona. La interpolació picnofilàctica s'atribueix al geògraf nord-americà Waldo Tobler.

Temes relacionats

• Anàlisi espacial
• Estadística espacial
• Geoestadística
• Krigatge
• Mostreig espacial
• Polígons de Thiessen
• Semivariograma
• Superfície
• Superfície de tendència
• Xarxa irregular de triangles

Referències

Bernstein, S.N. (1912) "Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes de degré donné", Mem. Acad. Roy. Belg., 4, 1-104.

Grant, F. (1961) "A problem in the analysis of geophysical data", Geophysics, 22, 309-344.

Krige, D.G. (1951) A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the Witwatersrand, Master's thesis of the University of Witwatersrand.

Krumbein, W.C. (1959) "Trend-surface analysis of contour-type maps with irregular control point spacing", Journal of Geophysical Research, 64, 823-834.

Matheron, G. (1962) Traité de géostatistique appliquée. Paris: Editions Technip.

Matheron, G. (1963) "Principles of geostatistics", Economic Geology, 58, 1246–1266.

Peucker, T.K. and Chrisman,  N. (1975) "Cartographic data structures", American Cartographer, 2, 1, 55-69.

Shepard, D. (1968) "A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data", Proceedings of the 1968 ACM National Conference.

Schoenberg, I.J. (1946) "Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions", Quart. Appl. Math., 4, 45–99 and 112–141.

Sibson, R. (1981) "A brief description of natural neighbor interpolation" in Barnett, V. (ed.)  Interpreting Multivariate Data. Chichester: John Wiley.

Thiessen, A.H. (1911) "Precipitation averages for large areas", Monthly Weather Review, 39, 7, 1082-1084.

Lectures recomanades

Burrough, P.A. (1986) Principles of Geographical Information Systems for Land Resources Assessment, Oxford, UK, Clarendon Press. Chapter 8.