Model digital d'elevacions

Autor: Dr. Joan Nunes. Universitat Autònoma de Barcelona
Promotor: Institut Cartogràfic de Catalunya, 2013

 

Un model digital d'elevacions (MDE) és una representació digital de la superfície del terreny mitjançant el mostreig regular o irregular de l'altitud del relleu, generalment del planeta Terra, encara que recentment es disposa ja de models digitals d'altres planetes com és ara Mart.

Els termes model digital d'elevacions (MDE), model digital del terreny (MDT) i model digital de superfície (MDS) fan referència a conceptes propers o de vegades al mateix concepte, sense que hi hagi un acord complet sobre el seu significat. En la interpretació més habitual, model digital de superfície es refereix a la representació de la superfície de la Terra inclosos els objectes que hi ha al damunt, com és ara arbres o edificis, mentre que model digital del terreny fa referència a la representació de la superfície del sòl, sense objectes a sobre. Model digital d'elevacions s'entén en aquesta interpretació com una denominació genèrica, que inclou MDT i MDS, i que fa referència a la representació de superfície mitjançant l'altitud o elevació. En altres interpretacions, model digital d'elevacions es considera un subconjunt o tipus de model digital del terreny, el qual se suposa que pot representar altres característiques del terreny a més o en lloc de l'altitud. En altres casos es consideren model digital d'elevacions i model digital del terreny com a sinònims. Finalment, convé tenir present també que en determinats contextos, especialment als Estats Units d'Amèrica, model digital d'elevacions (MDE, en anglès DEM) sovint s'entén exclusivament com a model digital d'elevacions ràster. En qualsevol cas, la denominació més emprada i la menys ambigua és model digital d'elevacions, mentre que l'ús corrent de model digital del terreny, tret del cas de precisar que es tracta de la superfície del sòl o d'algun contingut particular, conserva el sentit històric sinònim de model digital d'elevacions.

Algunes de les representacions i visualitzacions habituals d'un model digital d'elevacions: a) model digital d'elevacions ràster, visualitzat mitjançant una imatge d'il·luminació analítica del relleu; b) model digital d'elevacions TIN, visualitzat mitjançant coloració altimètrica i ombreig del relleu; c) corbes de nivell derivades del model digital d'elevacions o que poden haver servit per a generar-lo; d) visualització del model digital d'elevacions en perspectiva 3D mitjançant un bloc diagrama.

Els models digitals d'elevacions se solen emmagatzemar segons el model de dades ràster, o bé mitjançant una xarxa irregular de triangles, emmagatzemada segons el model de dades TIN. Independentment de l'estructura o format, un model digital d'elevacions és un model de superfície funcional del relleu a partir del qual se'n poden analitzar les propietats, estimar-ne els valors en punts desconeguts, caracteritzar-lo, derivar-ne productes visuals o materials i desenvolupar tot tipus d'anàlisis derivades, com és ara anàlisi morfològica, de visibilitat, hidrològica i altres, que es coneixen col·lectivament com anàlisi del terreny. Convé remarcar que un model digital d'elevacions és només una representació de superfície, en particular d'una superfície funcional, i per tant no és una veritable representació 3D. Per aquest motiu sovint es diu que es tracta d'una representació 2,5D.

Els models digitals d'elevacions són un dels components principals del processament d'informació geoespacial, que proporciona la base per a nombroses aplicacions en ciències de la terra i en enginyeria. En el camp dels sistemes d’informació geogràfica són el mitjà per a modelitzar, analitzar i visualitzar la superfície del terreny i fenòmens relacionats, així com altres fenòmens que varien de forma contínua en l'espai i es poden tractar com superfícies. En aquest darrer cas, es parla de model de superfície.

Dins del programari de SIG, els mòduls dedicats al processament de models digitals d'elevacions constitueixen un subsistema o component especialitzat del SIG, funcionalment diferent dels mòduls que tracten la informació planimètrica, però completament integrat per tal de poder aplicar les funcions generals de geoprocessament vectorial o ràster, quan la manipulació de les dades d'altitud ho requereix, i de combinar els resultats de les operacions d'anàlisi del terreny sobre els models digitals d'elevacions amb la resta de dades temàtiques.

 

Origen

L'origen dels models digitals d'elevacions data de la dècada de 1950 (Miller, 1958), en tant que aplicació de càlcul numèric dels primers ordinadors en el camp de la fotogrametria. El seu origen és anterior fins i tot al dels sistemes d’informació geogràfica, que sol situar-se entorn de 1962 quan s'inicia el projecte de Canada Geographic Information System (Tomlinson, 1967). Des d'aleshores els models digitals d'elevacions han esdevingut un dels components destacats dels sistemes d’informació geogràfica i, en general, del processament d'informació geoespacial.

L'ús del model de dades ràster per a representar models digitals d'elevacions data de mitjans de la dècada de 1960 (Sinton and Steinitz, 1969), ja que de fet és immediat quan les dades d'elevacions prenen la forma de matriu d'altituds, pròpia de les dades ràster. El model de dades TIN, en l'àmbit dels sistemes d’informació geogràfica, va ser formulat a la dècada de 1970, entre d'altres, per Thomas Peucker (Peucker, 1972; Peucker et al., 1975), encara que probablement hi ha diversos origens paral·lels (Dueppe and Gottschalk, 1970; Rhynsburger, 1973; Gates, 1974; Bauhuber et al., 1975).

Definició

Un model digital d'elevacions és una representació de la superfície del terreny per mitjà de l'altitud mesurada o interpolada en un conjunt de posicions. En tant que superfície complexa, els sistemes d’informació geogràfica, representen la superfície del terreny com una superfície estadística, resultant d'ajustar una funció de superfície als valors d'altitud, o valors z, originals mesurats en punts de mostreig. Aquesta funció de superfície permet interpolar els valors desconeguts en altres posicions i constitueix en termes de càlcul un model de superfície. El model de superfície que s'emmagatzema, tanmateix, no és la formulació analítica de la funció de superfície (la funció d'interpolació espacial), sinó una representació extensiva en forma de col·lecció finita de punts amb un valor associat (mesurat originalment o interpolat) de la magnitud representada; és a dir, d'altitud en el cas dels models digitals d'elevacions.

Generalment, es considera que el MDE és el conjunt de valors d'altitud que corresponen a la totalitat de posicions necessàries per a cobrir una àrea geogràfica amb la suficient resolució o qualitat. Això implica que un model digital d'elevacions comprèn dos components: el component mesurat, corresponent a un o altre tipus de mostreig espacial, i el component interpolat, corresponent al conjunt de punts que cobreixen la totalitat de l'àrea d'interès d'acord amb els paràmetres de qualitat, i que es genera mitjançant interpolació espacial a partir dels valors originals mesurats en el subconjunt de punts del mostreig espacial.

Sovint s'emmagatzema i utilitza només el component interpolat, ja que és el que es distribueix i el que es necessita en totes les operacions posteriors d'anàlisi o de creació de productes derivats. Aquest component interpolat constitueix el model digital d'elevacions operatiu i és l'objecte dels models de dades per a representar superfícies. Tanmateix, tal com indiquen Weibel i Heller (1991), el model digital d'elevacions són tots dos components, inclosa la funció d'interpolació espacial que transforma l'un en l'altre, i és abans que res la col·lecció d'observacions originals, ja que permeten generar la resta i/o ampliacions o millores en el futur. Encara que aquesta informació no s'emmagatzemi com a part de les dades que formen el model digital d'elevacions operatiu, s'ha de conservar i, juntament amb les metadades geoespacials que informen de la funció d'interpolació espacial i del llinatge del model digital d'elevacions, ha de permetre reconstruir el model digital d'elevacions o modificar-lo.

La producció de models digitals d'elevacions, per tant, comprèn també dos processos: la captació de dades d'elevacions originals mesurades per mostreig espacial i la interpolació espacial per a produir el model operatiu que s'emmagatzema i distribueix com a model digital d'elevacions.

Els models digitals d'elevacions es poden georeferenciar per mitjà de qualsevol sistema de referència espacial, en coordenades projectades com per exemple UTM o bé directament en coordenades geogràfiques de longitud i latitud. Especialment, si es tracta de models digitals d'elevacions d'abast global o que cobreixen un àmbit extens.

Igualment important és la superfície de referència o datum vertical al qual són referides les elevacions. En molts casos els models digitals d'elevacions utilitzen com a referència datums verticals locals, referits al nivell mitjà del mar en una determinada localització. Cada cop més, però, s'utilitzen datums verticals globals, com és ara un model de geoide (per exemple, GEOID89) o un model d'el·lipsoide (per exemple, WGS84).

En el cas que les unitats de distància del sistema de referència espacial (horitzontal) siguin diferents de les unitats d'altitud corresponents al datum vertical de referència cal especificar el factor de conversió corresponent, anomenat factor z, a fi que les operacions de càlcul en què intervenen distàncies verticals i horitzontals siguin coherents. El factor z s'expressa com el nombre d'unitats verticals per unitat horitzontal. Sovint és 1, però en casos en què s'utilitzen diferents sistemes d'unitats és possible que hi hagi combinacions d'unitats que necessiten conversió (per exemple, l'altitud en peus i les coordenades planes en metres (factor z = 0,3048)). A fi de no modificar les dades emmagatzemades, el factor z s'aplica dinàmicament i s'especifica en les operacions que ho requereixen.

Models de dades per a representar superfícies

Els models de dades utilitzats en els sistemes d’informació geogràfica per a representar superfícies són models de dades que emmagatzemen conjunts finits de punts amb un valor d'elevació associat. Encara que el que s'emmagatzema com a model digital d'elevacions és el component interpolat, aquest continua sent un conjunt finit de punts amb valor d'elevació. Els models de dades per a representar superfícies en els SIG, tot i la diversitat de variants (Peucker, 1978), són bàsicament dos: el model de dades ràster i el model de dades TIN, basat en xarxes irregulars de triangles.

Ràsters

Els models digitals d'elevacions segons el model de dades ràster presenten una malla regular de cel·les, generalment quadrades, amb un valor d'elevació referit habitualment al punt central de la cel·la. En tant que el valor enregistrat és puntual, aquest tipus de ràster de vegades s'anomena ràster de punts (lattice). Aquest tipus d'estructura de dades es correspon amb una matriu numèrica i per tant les operacions de gestió de dades i els algorismes de càlcul són relativament simples i directes. A més, l'estructura de les dades del model digital d'elevacions i la d'altres conjunts de dades ràster de dades temàtiques és la mateixa, de manera que la integració de les dades d'elevacions o de les dades derivades del MDE, com és ara el pendent, l'orientació, les conques visuals, etc., amb dades temàtiques és immediata i simple. Per aquests motius, així com pel fet que és un tipus de model digital d'elevacions fàcil de generar, fins i tot a mà, els models digitals d'elevacions ràster són els més coneguts i utilitzats.

D'altra banda, els models digitals d'elevacions ràster tenen com a principals inconvenients el fet que la densitat de punts d'una malla regular és fixa i no es pot adaptar a la complexitat del relleu. En conseqüència, per tal d'obtenir una representació amb el grau de fidelitat necessari per a reflectir les variacions del relleu de més detall, cal emmagatzemar un nombre de punts excessiu i innecessari per a les zones del relleu menys variables. Així mateix, els models digitals d'elevacions ràster no poden descriure ni contenir explícitament elements estructurals del relleu, encara que es poden tenir en compte durant el procés d'interpolació del model digital d'elevacions ràster (Hutchinson, 1988; 1989; 1996).

Els dos models de dades bàsics per a representar superfícies: a) model de dades ràster; b) model de dades TIN.

Xarxes irregulars de triangles, TIN

Els models digitals d'elevacions segons el model de dades TIN utilitzen una xarxa irregular de triangles (TIN, triangulated irregular network) per a representar el relleu, formada per triangles amb vèrtexs (nodes) en els punts de mostreig on s'ha mesurat l'altitud del relleu. En una xarxa irregular de triangles és fàcil incorporar elements estructurals del relleu, com és ara carenes, cursos dels rius, etc. El model de dades TIN, per tant, requereix menys punts i és capaç d'adaptar-se adequadament a la densitat de punts de mostreig variable, segons la diversitat del relleu, i de reflectir canvis abruptes de la forma del relleu causats per elements estructurals que comporten una ruptura en la continuïtat del pendent de la superfície del terreny.

El principal inconvenient de la representació de models digitals d'elevacions mitjançant el model de dades TIN és que es tracta d'una representació més complexa, amb informació topològica explícita entre els punts de mostreig (les arestes i els triangles), que cal construir. Per tant és un tipus de model digital d'elevacions més difícil de generar i de gestionar, amb algorismes de càlcul de productes derivats més complexos que en el cas dels models digitals d'elevacions ràster. De fet, no tots els algorismes d'anàlisi del terreny desenvolupats a partir del model de dades ràster tenen un algorisme de càlcul equivalent per al model de dades TIN, per bé que cada model de dades té avantatges per a una o altra operació d'anàlisi. En qualsevol cas, per la seva major complexitat, no tots els programes de SIG són capaços d'operar, gestionar o ni tan sols visualitzar models digitals d'elevacions de tipus TIN, mentre que pràcticament tots permeten realitzar un mínim d'operacions amb models digitals d'elevacions ràster.

Cap dels models de dades emprats per a representar models digitals d'elevacions és clarament superior per a tot tipus d'operacions de modelització i anàlisi del terreny. En aquest sentit, és especialment important tenir i aplicar un concepte més complet de model digital d'elevacions que inclogui les observacions originals com a base fonamental i insubstituïble del model, i les diverses representacions derivades (ràsters, TIN o altres com és ara corbes de nivell) com a interfícies específiques per a un o altre algorisme de manipulació o d'anàlisi; és a dir, models intermedis adequats per a resoldre una determinada tasca (Weibel and Heller, 1991). Un sistema ideal per a gestionar models digitals d'elevacions ha de permetre conservar, modificar i refinar les observacions originals, així com derivar i canviar de models operatius derivats segons les tasques a realitzar. Només alguns dels programes de SIG professional més desenvolupats ofereixen la capacitat de generar i treballar indistintament amb models digitals d'elevacions ràster o TIN i de convertir l'un a l'altre i viceversa. 

Fonts i mètodes de captació de dades d'elevacions

La tria de les fonts de dades i de les tècniques de mostreig de les dades d'altitud del terreny és crítica per a obtenir un model digital d'elevacions de qualitat. Les dades simples d'elevacions s'han d'acompanyar, en la mesura possible, d'informació sobre elements que defineixen o condicionen substancialment la forma de la superfície del terreny, com és ara carenes, cursos dels rius i altres discontinuïtats. D'altra banda, criteris com l'eficiència, el cost o la solidesa tècnica poden determinar l'elecció d'una o altra tècnica de mostreig per a produir les dades d'un model digital d'elevacions per a un determinat projecte o tipus d'aplicacions.

Les fonts i mètodes de captació primària de dades per a generar models digitals d'elevacions són bàsicament els aixecaments topogràfics, els mètodes fotogramètrics, que inclouen els procediments automàtics d'extracció de MDE mitjançant la correlació de parells estereoscòpics d'imatges digitals de tot tipus (fotografia aèria, imatges de satèl·lit, de radar, lidar o altres); i les fonts cartogràfiques preexistents, entre les quals la cartografia topogràfica de corbes de nivell.

Aixecaments topogràfics

Les dades d'aixecaments topogràfics es capten directament de forma digital des de fa temps, per mitjà de diversos dispositius com estacions totals o receptors GPS de precisió, i són, en general, molt precises i adaptades a les particularitats locals del terreny objecte d'aixecament, de manera que els models digitals d'elevacions que en resulten solen ser molt acurats.

La principal limitació és el temps i el cost necessari, ja que es tracta de dades molt detallades, destinades a produir cartografia d'escales grans, i per tant només permeten cobrir àrees reduïdes, per la qual cosa s'utilitzen només per a projectes específics d'extensió reduïda o com a dades complementàries, de suport o de control de la restitució fotogramètrica.

Mètodes fotogramètrics

La producció de models digitals d'elevacions mitjançant fotogrametria es basa en la restitució a partir de parells estereoscòpics d'imatges de fotografia aèria vertical, d'imatges de satèl·lit o d'imatges de sensors actius com el radar interferomètric d'obertura sintètica (IfSAR) o el lidar (Li et al., 2005).

Els principals mètodes fotogramètrics per a la producció de dades d'altitud del terreny per a generar models digitals d'elevacions són els següents (Weibel and Heller, 1991; Li et al., 2005; Maune, 2006):

• Mostreig regular: és el mètode de mostreig fotogramètric més simple, que es pot realitzar de forma manual, semiautomàtica o automàtica. El mostreig regular es pot realitzar mitjançant punts alineats al llarg de perfils o bé de malles en dues dimensions. Els inconvenients dels mètodes de mostreig regular són el fet que es basen en un interval de distància fix entre punts, que cal escollir adequadament per tal de no ometre variacions significatives del relleu, i d'altra banda el fet que inevitablement produeix un nombre excessiu de punts en les àrees de relleu uniforme i un nombre insuficient a les àrees de relleu més accidentat. L'avantatge és que es poden aplicar de forma semiautomàtica o fins i tot automàtica en el cas de l'estereocorrelació d'imatges.
• Mostreig progressiu: és un mètode de mostreig fotogramètric manual o automatitzat, desenvolupat per Makarovic (1973), en el qual la densitat de punts s'adapta a la complexitat del relleu en les diferents zones de l'àrea d'interès. El mètode consisteix a efectuar un primer mostreig uniforme de baixa densitat o resolució, del qual se n'avalua l'exactitud i que es va densificant successivament per zones fins a assolir el grau d'exactitud requerit. Es tracta per tant d'un mètode de mostreig jeràrquic que produeix models digitals d'elevacions de major exactitud que el mostreig regular amb un nombre de punts molt menor.
• Mostreig selectiu: és el mostreig, necessàriament manual, que té per finalitat captar només les discontinuïtats abruptes, o elements estructurals, de la superfície del terreny.
• Mostreig compost: el mostreig compost combina els mostreigs progressiu i selectiu, per tal de tenir un recobriment general del terreny més l'enregistrament dels elements estructurals (Makarovic, 1977). Gràcies a recollir els elements estructurals, que generalment són els que presenten major variació, la part recursiva de mostreig progressiu es pot reduir, tot mantenint un nivell d'exactitud més elevat que si s'efectués només el mostreig progressiu. No obstant, la part manual de mostreig selectiu no és automatitzable i en limita o encareix l'aplicació.
• Estereocorrelació digital d'imatges: és un mètode automàtic d'extracció de MDE que es basa en la correlació creuada entre punts o elements de parells estereoscòpics d'imatges, la qual permet calcular paral·laxis i derivar-ne elevacions. És una tècnica ràpida que es pot aplicar, en el cas digital, sense necessitat d'equipament fotogramètric i que per tant serveix per a projectes extensius de compilació de dades. No obstant, la qualitat de  les dades no es gaire alta a causa dels errors produïts per mala correlació o soroll present a les imatges originals. A més de la rapidesa i automatització té l'avantatge que es pot aplicar a tot tipus d'imatges digitals, per la qual cosa s'utilitza molt des de fa dècades per a derivar models digitals d'elevacions ràpids de qualitat mitjana a partir de parells estereoscòpics d'imatges de satèl·lit (per exemple a partir d'imatges del canal pancromàtic del satèl·lit SPOT o, més recentment, del satèl·lit d'alta resolució IKONOS), d'imatges de radar interferomètric d'obertura sintètica o de lidar. Aquests mètodes automàtics d'extracció de MDE, anomenats també de vegades elevacions estereofotogramètriques, produeixen models digitals de superfície (MSD), que poden ser utilitzats per a la producció d'ortoimatges i que, requereixen interpretació manual per a eliminar l'alçada dels objectes sobre la superfície del terreny i estimar l'elevació a nivell del sòl, com correspon a un MDE pròpiament dit.

Depenent del mètode de mostreig i de la resolució de les imatges emprades, l'exactitud del model digital d'elevacions resultant varia entre mitjana i alta. Gràcies a la utilització d'imatges, els mètodes fotogramètrics permeten cobrir àrees grans en relativament poc temps, en comparació amb els mètodes topogràfics, i per tant s'utilitzen en projectes d'enginyeria de grans extensions i per a produir dades a nivell de tot un país o, en el cas d'emprar imatges de satèl·lit i mètodes automàtics d'extracció de MDE, regions continentals o d'abast global (per exemple, en el cas del projecte Shuttle Radar Topography Mission de la NASA). Els mètodes fotogramètrics clàssics de mostreig, manuals o automàtics, han estat els més utilitzats per a la producció de dades d'elevacions per a models digitals d'elevacions, però els mètodes automàtics d'estereocorrelació basats en sensors com lidar s'estan adoptant ràpidament.

Fonts cartogràfiques: corbes de nivell

Les corbes de nivell de la cartografia topogràfica convencional han estat durant molt de temps la representació principal de la superfície del relleu, especialment per la facilitat de visualització de la superfície del terreny i per la idoneïtat de producció mitjançant mètodes fotogramètrics. La dificultat de càlcul per a generar productes derivats o d'anàlisi fa que les corbes de nivell no siguin un model de dades apropiat per als models digitals d'elevacions. D'ençà de l'ús de la cartografia digital i dels sistemes d’informació geogràfica, les corbes de nivell són més aviat un producte de visualització derivat dels models digitals d'elevacions.

No obstant les corbes de nivell de la cartografia topogràfica preexistent contenen la informació necessària d'altitud del terreny per a generar un model digital d'elevacions i constitueixen per tant, si no un MDE, una font de dades molt comuna per a generar MDE, sobretot en dècades passades quan la cartografia topogràfica analògica era predominant. De fet, fins a la producció de cartografia topogràfica digital pròpiament dita, la digitalització de la cartografia topogràfica analògica ha estat un dels procediments relativament ràpids emprats per agències cartogràfiques oficials i militars per a convertir grans sèries de cartografia topogràfica existent. També, mentre no ha estat possible la disponibilitat i/o accés gratuït a la informació geoespacial, la generació de MDE a partir de corbes de nivell digitalitzades ha estat un mètode emprat en projectes amb pocs recursos.

Per a generar un model digital d'elevacions a partir de cartografia topogràfica analògica, cal digitalitzar manualment les corbes de nivell, o bé escanejar-les, vectoritzar-les i etiquetar-les amb l'altitud corresponent. Un cop es disposa de les corbes de nivell digitals es pot derivar un model digital d'elevacions ràster o TIN, mitjançant interpolació o selecció i triangulació.

L'ús de corbes de nivell digitals dóna lloc a models digitals de qualitat baixa o mitjana, ja que el tipus de punts de mostreig que proporcionen les corbes de nivell (gran quantitat de punts molt propers d'igual valor d'elevacions al llarg de les corbes de nivell i pocs punts per conèixer la variació entre corbes) indueix un bon nombre d'errors en els processos d'interpolació o de triangulació, com és ara l'aparença "a llesques" de la superfície del model digital d'elevacions resultant, en el cas dels MDE ràster, o la formació de nombrosos triangles plans formats per vèrtexs pertanyents a una mateixa corba, en el cas dels MDE TIN. Amb tot és un procediment que ha estat força utilitzat fins a la dècada de 1990 com a solució de compromís per a generar MDE a escales petites i mitjanes pel fet de tenir un balanç cost-efectivitat favorable.

Creació de models digitals d'elevacions

El procediment per a generar el model digital d'elevacions a partir del conjunt d'observacions original és completament diferent segons que es tracti de generar un model digital d'elevacions ràster o un TIN.

Generació de models digitals d'elevacions ràster. Interpolació

En el cas de generar un model digital d'elevacions ràster es tracta d'obtenir el valor d'elevació per al conjunt de punts distribuïts de manera regular que formen el ràster, a partir del conjunt de punts de les observacions originals que poden estar distribuïts de forma irregular o bé regular, però amb diferent resolució espacial. Essencialment és, doncs, un cas d'interpolació espacial. Als efectes de creació de models digitals d'elevacions ràster la interpolació s'utilitza per a:

• calcular l'elevació (valor z) dels punts de la malla regular del MDE ràster a partir dels punts de mostreig originals; és a dir la creació del MDE pròpiament dita.
• densificar o, contràriament, generalitzar un MDE ràster o un mostreig regular original, segons el que s'anomena remostreig, que equival a calcular l'elevació (valor z) dels punts d'una malla regular a partir dels punts d'una altra malla regular diferent.
• calcular l'elevació (valor z) dels punts de la malla regular del MDE ràster a partir dels punts procedents d'un MDE TIN; és a dir la conversió de TIN a ràster.

A més, a efectes de consulta o de generació de productes derivats, la d'interpolació espacial. s'utilitza també en el context dels MDE ràster per a:

• calcular l'elevació (valor z) d'un punt qualsevol donat, generalment entre punts de la malla del MDE ràster, que és objecte de consulta.
• calcular les posicions (x, y) dels punts al llarg d'isolínies; és a dir interpolació de corbes de nivell.

Hi ha molts mètodes d'interpolació espacial per a interpolar models digitals d'elevacions. En general, els mètodes de complexitat creixent (per exemple, la interpolació bicúbica o el krigatge) solen donar millors resultats que els més simples (per exemple, la interpolació bilineal, la interpolació per la distància inversa o la interpolació pel veí natural).

El criteri més important per a escollir un mètode d'interpolació de models digitals d'elevacions és la capacitat que tingui el mètode per a incorporar i utilitzar elements estructurals del relleu, i per a adaptar-se a les condicions canviants de la variació del relleu. Altres criteris addicionals poden ser l'esforç o temps de càlcul assumible i la qualitat del resultat desitjada.

El tipus de dades originals emprades per a la interpolació es també important. Els conjunts de punts originals ben seleccionats i correctament densificats obtinguts per mitjà de mètodes fotogramètrics donen com a resultat MDEs de millor qualitat que els punts al llarg de corbes de nivell digitalitzades. En qualsevol cas hi ha mètodes d'interpolació espacial específics per a interpolar models digitals d'elevacions més adaptats a un o altre tipus de dades originals. Com que la superfície del terreny es no estacionària i no periòdica, els mètodes d'interpolació exactes i locals sobre punts de mostreig de densitat i qualitat suficient són els més satisfactoris (McCullagh, 1988; Li et al. 2005). En el cas d'haver d'interpolar MDE a partir de corbes de nivell digitalitzades hi ha alguns algorismes d'interpolació específics (Hutchinson, 1988; 1989; 1996) per a aquest tipus de dades que donen resultats també satisfactoris, ja que utilitzen informació de la topologia de superfícies; és a dir del conjunt d'elements, com és ara divisòries d'aigües i i xarxes de drenatge, que determinen l'estructura de la superfície del terreny.

Segons els programes, hi ha opcions per a restringir el procés d'interpolació per mitjà d'una àrea d'interpolació,de manera que la interpolació només té lloc a les posicions a l'interior de l'àrea o zona d'interpolació. Com que un ràster té necessàriament una extensió rectangular, els punts a l'exterior de l'àrea d'interpolació reben valor sensedades. Per tal de prevenir les deficiències que es produeixen a les vores exteriors del conjunt de punts de mostreig és convenient dimensionar la mostra de manera que cobreixi una extensió més gran que l'àrea d'interpolació. En el cas ràster l'àrea d'interpolació es pot definir com un rectangle mitjançant coordenades x, y mínimes i màximes, o bé mitjançant un polígon que marca el límit que retalla la zona que conté valors interpolats.

La interpolació es pot restringit també mitjançant barreres. Una barrera és un element, lineal o poligonal, que serveix per a restringir els punts de mostreig que intervenen en operacions d'interpolació, tant en el cas de dades ràster com en el de triangulacions irregulars. La barrera determina que només intervinguin en la interpolació els punts situats en el mateix costat de la barrera que el punt objecte de càlcul. En els models digitals d'elevacions, una barrera pot correspondre a un cingle, a un penya-segat, a una riba o a qualsevol altre interrupció en la continuïtat de la superfície del relleu.

Generació de models digitals d'elevacions TIN. Selecció i triangulació

La creació d'un model digital d'elevacions segons el model de dades TIN consisteix a generar la xarxa irregular de triangles a partir dels punts de les observacions originals, ja siguin punts d'un mostreig espacial original destinat a crear el MDE, punts al llarg de corbes de nivell digitalitzades, o bé punts d'una malla regular corresponent a un MDE ràster (conversió de ràster a TIN). Tret del cas que els punts de mostreig s'hagin generat expressament per a crear un TIN, i per tant amb una densitat variable i selectiva, és habitual que hi hagi un excés de punts per a generar el TIN i cal un procés de selecció prèvia (Klinkenberg, 1990). Així en el cas dels models digitals d'elevacions segons el model de dades TIN, intervenen els processos següents:

• Selecció: és el procés que estableix el conjunt de punts més adequat, a partir dels punts originals, per a construir la xarxa irregular de triangles. Hi ha diferents procediments per a seleccionar els punts que formaran part d'un TIN, però tots ells tenen en comú l'objectiu de conservar els punts més significatius per a representar la variació de la superfície del terreny i prescindir dels punts redundants o d'escassa significació. En el cas d'haver de seleccionar els punts procedents de la malla regular d'un model digital d'elevacions ràster hi ha diversos mètodes, entre els quals els més importants són l'algorisme de Fowler and Little (1979), que identifica i selecciona punts que constitueixen pics, desguassos, passos, carenes i rius, i el mètode d'extracció de punts importants, anomenats VIP points (Chen and Guevara, 1987), que calcula la significació de cada punt com a mitjana de la proximitat de cada punt als seus veïns i elimina els punts en ordre creixent de significació fins a un nombre determinat de punts o un nivell desitjat de significació.
• Triangulació: és el procés de creació de la xarxa irregular de triangles a partir dels punts originals o dels seleccionats. Un dels mètodes de triangulació més emprats és l'anomenada triangulació de Delaunay, basada en la proximitat entre punts, ja que es el graf dual dels polígons de Thiessen, i que compleix el criteri de Delaunay, segons el qual el cercle en què s'inscriu cada triangle no conté altres punts del mostreig original que els tres vèrtexs que defineixen el triangle. Habitualment, però, la triangulació de Delaunay es modifica per tal d'incorporar elements estructurals de la superfície del relleu, com és ara carenes o cursos de rius, com a arestes dels triangles. El concepte d'àrea d'interpolació o perímetre per a restringir l'abast del model digital d'elevacions també s'aplica en el cas de la creació d'un TIN, però en aquest cas en lloc de limitar l'extensió de la interpolació el que limita és l'extensió de la triangulació i per evitar confusions de sol anomenar àrea de retallada, ja que efectivament el que fa és retallar el TIN produït a partir dels punts de mostreig. En la triangulació també es poden aplicar barreres, que interrompen la continuïtat de la superfície i forcen a establir arestes de triangles, però que a diferència de les línies estructurals no contenen valor z. Una opció addicional, oferta en alguns programes, és la possibilitat d'assignar prioritat a línies estructurals, barreres i àrees de retallada, de manera que quan creuen un altre element preval el valor z de l'element o el de la línia estructural, barrera o línia de retallada.
• Interpolació: és el procés, posterior a la creació del MDE de tipus TIN, pel qual es calcula el valor d'elevació d'un punt qualsevol donat, a partir dels valors dels vèrtexs del triangle en què es troba el punt. La interpolació local dins d'un triangle es resol ajustant localment una funció polinòmica específica en cada triangle, la més simple de les quals és una funció d'interpolació lineal dins de cada triangle. Tant les línies estructurals com les barreres actuen en el procés d'interpolació.

Manipulació de models digitals d'elevacions

Els models digitals d'elevacions, com qualsevol altre conjunt de dades geoespacials, poden requerir operacions de modificació després de la seva creació. Per la seva naturalesa particular, les operacions de modificació de models digitals d'elevacions tenen especial significació ja que poden requerir en major o menor grau haver de regenerar el model digital d'elevacions aplicant totalment o de forma parcial els procediments emprats per a crear-lo. Les principals operacions de modificació de models digitals d'elevacions són les següents:

• Edició de MDE: comprèn modificacions del model digital d'elevacions destinades a actualitzar-lo o a corregir errors. En el cas de models digitals d'elevacions ràster l'edició consisteix únicament en la modificació de valors de les cel·les. En el cas de models digitals d'elevacions segons el model de dades TIN, es necessiten algorismes específics per a refer localment la xarxa irregular de triangles després d'inserir o esborrar punts. En general, es necessita un entorn d'edició dotat d'una interfície interactiva. Tret de modificacions puntuals, pot resultar més efectiu modificar el conjunt d'observacions original i crear de nou el model digital d'elevacions.
• Refinament i generalització de MDE: els models digitals d'elevacions es poden millorar, suavitzar o simplificar. La millora, sense afegir nous punts que densifiquin el model digital d'elevacions, sol consistir a ressaltar les discontinuïtats de la superfície del terreny, per exemple mitjançant un filtre passaalt en el cas dels models digitals d'elevacions ràster. El refinament de MDE de tipus TIN requereix en general una densificació de TIN; és a dir, dels punts que formen la xarxa irregular de triangles. La suavització i la simplificació són formes particulars de generalització. La suavització s'aconsegueix de manera senzilla mitjançant un filtre passabaix en el cas dels models digitals d'elevacions ràster. La simplificació consisteix a reduir el nombre de punts del model digital d'elevacions, operació que en el cas dels MDE ràster s'aconsegueix mitjançant remostreig, que implica interpolar un nou MDE de diferent resolució espacial a partir de l'original, i en el cas dels MDE de tipus TIN aplicant una tolerància, bé a la distància entre punts o bé a la diferència d'elevació entre els punts, de manera que s'eliminin aquells que cauen dins del valor de tolerància,. En un i altre cas, la simplificació implica tornar a aplicar els procediments d'interpolació o de triangulació i recrear el model digital d'elevacions.
•  Unió i combinació de MDE: els models digitals d'elevacions es poden unir, si són adjacents, o combinar, si s'encavalquen. La unió o la combinació de models digitals d'elevacions ràster és relativament simple, ja que s'aconsegueix mitjançant mosaic i, en cas necessari, remostreig dels ràsters originals. En el cas dels models digitals d'elevacions de tipus TIN tant la unió com la combinació són més complexes i requereixen efectuar una nova triangulació, bé de forma incremental o bé de forma completa. En cas de TIN perfectament adjacents, tan sols cal aplicar un algorisme per ajustar els triangles a les vores.
• Conversió de MDE: la conversió de models digitals d'elevacions de diferent model de dades, de ràster a TIN o viceversa, és de fet un cas particular de creació de models digital d'elevacions.

Errors i control de qualitat

Hi ha diversos tipus d'errors en els models digitals d'elevacions. Els més comuns solen ser errors en el valor d'elevació dels punts, que donen lloc a punxes o depressions anòmales. Aquest tipus d'errors poden ser simplement equivocacions puntuals en la introducció del valor d'altitud corresponents als punts de mostreig, però sovint, en el cas de les depressions i més encara dels desguassos són errors causats per la mateixa interpolació. En aquest sentit, s'han desenvolupat algorismes pensats expressament per a minimitzar aquests errors d'interpolació i generar MDE sense depressions (Hutchinson, 1989), que emprant altres tipus d'algorismes s'obtenen desrpés de la interpolació per mitjà de la correcció dels errors.

Altres errors són deguts a biaixos de la restitució fotogramètrica o bé als processos automàtic d'extracció de MDE que mesuren l'altitud d'objectes presents (vegetació o edificis) com si fos la de la superfície del sòl. Aquests tipus d'errors, de caire sistemàtic, es tradueixen en un cert desplaçament en els valors d'elevacions del MDE.

Un darrer tipus d'errors són els artefactes generats pel procés de creació del MDE, causats per deficiències dels punts de mostreig. Per exemple, un interval de distància de mostreig massa gran omet variacions importants del relleu en el cas dels models digitals d'elevacions ràster; mentre que punts massa propers quan no es necessiten donen lloc a triangles estrets i a triangles plans en el cas d'un TIN.

El mètode més habitual de detecció d'errors sol ser la inspecció visual. De fet, algunes tècniques de visualització són especialment útils per a la detecció d'errors (Podobnikar, 2009). Per exemple, la visualització en perspectiva 3D, mitjançant blocs diagrama, fa que els errors dels valors d'elevació (punxes o depressions) siguin més visibles ja que destaquen respecte de la superfície correcta del terreny. De la mateixa manera, productes derivats dels MDE, com els mapes de pendents o d'il·luminació analítica permeten detectar fàcilment errors del valor d'elevació en forma d'anomalies de gradient molt visibles. Part dels errors derivats de l'extracció automàtica de MDE mitjançant estereocorrelació digital d'imatges es poden detectar i corregir automàticament (Mcglone, 2008), però hi ha una gran necessitat encara de mètodes automàtics de detecció d'errors en els models digitals d'elevacions.

El control de qualitat en els models digitals d'elevacions se sol efectuar mitjançant la comparació dels valors d'elevació del MDE en un conjunt de punts seleccionats amb dades de referència, que poden ser punts de control o bé un altre model digital d'elevacions de precisió coneguda. La mesura de qualitat de l'ajust entre els valors d'elevació del MDE i els de les dades de referència sol ser l'error quadràtic mitjà, error RMS o RMSE (root mean square error). Per exemple, el model digital d'elevacions Land-Form PROFILE® Plus, distribuït al Regne Unit per l'Ordnance Survey, té un error RMS de 0,5 m a les àrees urbanes (amb una resolució espacial de 2 m) i de 2,5 m a les àrees rurals (amb una resolució espacial de 10 m). Altres mètodes per a avaluar la qualitat dels MDE basats en la comparació de MDE de la mateixa àrea inclouen l'anàlisi estadística dels residus, l'anàlisi comparativa de semivariogrames o l'anàlisi espectral de freqüències.

Productes derivats dels models digitals d'elevacions

Els models digitals d'elevacions donen lloc a un gran nombre de productes derivats, tant visuals com materials i alhora permeten realitzar un gran nombre d'anàlisis (topogràfiques, de visibilitat, hidrològiques, ...), basades en la superfície del terreny, que col·lectivament es coneixen com anàlisi del terreny. Tant els productes de visualització derivats, com els resultats dels diferents tipus d'anàlisi del terreny, s'utilitzen com a factors en molts altres tipus d'anàlisis i dominis d'aplicació. Aquest apartat presenta només alguns dels principals productes visuals derivats dels models digitals d'elevacions, mentre que els diferents tipus d'anàlisi del terreny es tracten a part de forma més extensa.

Un model digital d'elevacions es pot visualitzar directament com una imatge monocroma (en escala de grisos) ja que els valors d'elevacions són una variable quantitativa contínua. Alternativament, es pot visualitzar també com a mapa hipsomètric aplicant una coloració altimètrica corresponent a un cert nombre d'intervals altitudinals. El mapa hipsomètric pot ser només una presentació purament visual o bé un producte derivat pròpiament dit en cas de generar els polígons corresponents als intervals altitudinals o de reclassificar els valors d'elevacions en categories d'intervals altitudinals en el cas ràster.

Un producte de visualització de models digitals d'elevacions, molt característic dels sistemes d’informació geogràfica, és la imatge d'ombreig del relleu produïda a partir del MDE mitjançant la il·luminació analítica de la superfície del terreny segons un focus de llum situat a un azimut i una elevació especificades per l'usuari. L'ombreig del relleu es pot afegir com a capa d'il·luminació a la visualització de les elevacions o de qualsevol altra capa.

Principals visualitzacions d'un model digital d'elevacions: a) com a simple imatge monocroma (escala de grisos); b) com a mapa hipsomètric mitjançant una coloració altimètrica; c) imatge d'ombreig del relleu derivada del model digital d'elevacions; d) coloració altimètrica més capa d'il·luminació que proporciona l'ombreig del relleu.
Font: http://freegeographytools.com/2007/elevation-and-contour-line-display-in-microdem-make-your-own-simple-topo-maps

D'ençà de la producció i ús dels models digitals d'elevacions les corbes de nivell són un producte derivat dels MDE, emprat per a la visualització i la presentació cartogràfica del relleu en forma de mapa topogràfic. La combinació de corbes de nivell i ombreig del relleu afavoreix molt la interpretació de les corbes de nivell ja que permet copsar més ràpidament les formes del relleu i veure la correspondència entre aquestes i les corbes de nivell. Molts dels mapes topogràfics publicats a partir de 1990 incorporen l'ombreig del relleu a més de les corbes de nivell i de la coloració altimètrica.

Corbes de nivell derivades d'un model digital d'elevacions: a) mapa topogràfic simple (corbes de nivell vectorials); b) mapa topogràfic amb fons d'ombreig del relleu.
Font: http://freegeographytools.com/2007/elevation-and-contour-line-display-in-microdem-make-your-own-simple-topo-maps

El pendent i l'orientació són dos dels productes d'anàlisi del terreny més bàsics generats a partir de models digitals d'elevacions, que s'utilitzen en moltes de les aplicacions d'anàlisi o de planificació dels sistemes d’informació geogràfica. Concretament, el pendent i l'orientació són les dues primeres derivades de la superfície del terreny, que proporcionen la descripció topogràfica de les característiques del relleu.

Derivades topogràfiques d'un model digital d'elevacions: a) pendent; b) orientació.
Font: http://freegeographytools.com/2007/terrain-slopeaspect-display-and-analysis

Un darrer producte visual dels models digitals d'elevacions molt característic és la visualització del MDE en perspectiva 3D, que dóna lloc al gràfic conegut com bloc diagrama, el qual permet obtenir una visió immediata i realista de les formes i configuració del relleu d'un territori i variar-ne la perspectiva d'observació canviant a voluntat l'angle que determina la posició del punt de vista, així com la inclinació del pla de projecció i el factor d'exageració vertical de l'elevació respecte de la distància en el pla. El factor d'exageració vertical permet accentuar o, simplement, fer més visible la variació real de la superfície del terreny. L'exageració vertical és especialment necessària o útil com més gran és l'extensió geogràfica visualitzada en el bloc diagrama, atès que l'ús de la mateixa escala en les distàncies verticals i en les distàncies en el pla tendeix a produir una impressió molt aplanada del relleu, que, d'altra banda, és certa.

La forma més simple de bloc diagrama és la que presenta la superfície en perspectiva 3D com una malla de perfils en les dues direccions del pla x,y. Alternativament, en el cas de models digitals d'elevacions de tipus TIN, un bloc diagrama simple s'obté mitjançant el traçat en perspectiva 3D dels triangles del TIN.

Visualització en perspectiva 3D d'un model digital d'elevacions: a) bloc diagrama traçat com una malla de perfils en les dues direccions del pla, x i y; b) bloc diagrama traçat a partir dels triangles d'un TIN.

Una versió més elaborada de bloc diagrama és la que utilitza, a més de la capa d'elevacions formada pel model digital d'elevacions ràster o TIN, una capa de recobriment, que pot ser una imatge o un ràster temàtic però també un conjunt de dades vectorial, la qual s'emmotlla segons la forma de la superfície del terreny i permet generar versions més realistes o simplement visualitzar altres informacions temàtiques sobre la vista 3D del terreny. Alguns exemples típics de capa de recobriment són imatges d'ombreig del relleu, ortofotomapes i ortoimatges, imatges de mapes rasteritzats o capes temàtiques com vegetació o usos del sòl.

En el cas d'utilitzar un conjunt de dades vectorial com a capa de recobriment, la posició dels elements respecte a la superfície del model digital d'elevacions es pot estimar a partir del model digital d'elevacions, en cas que els elements vectorials no tinguin coordenada z, o bé es pot definir per mitjà de la coordenada z dels mateixos elements vectorials, en cas que en tinguin. Això permet representar realment en 3D nivells que estan per sobre, com les plantes d'un edifici, o per sota, com les capes del subsòl, de la superfície del terreny i obtenir una visualització realment 3D, d'especial interès en geologia o en arqueologia.

Alguns programes ofereixen, a més d'opcions de recobriment, opcions de renderització que tinguin en compte condicions d'il·luminació i condicions atmosfèriques per tal de crear escenes 3D del paisatge que simulen condicions reals. D'altres permeten extrudir elements planimètrics per a formar volums i obtenir el que seria una visualització pròpiament 3D.

Visualització en perspectiva 3D d'un model digital d'elevacions: a) bloc diagrama recobert amb una imatge d'il·luminació analítica del relleu; b) bloc diagrama recobert amb una imatge d'un mapa topogràfic rasteritzat.
Font: http://freegeographytools.com/2007/3d-perspective-views-with-3dem

 

Aplicacions dels models digitals d'elevacions

Els camps d'aplicació dels models digitals d'elevacions són molt nombrosos (Wilson and Gallant, 2000). Per simplicitat es poden agrupar en cinc grans dominis d'aplicació.

Topografia i fotogrametria

La topografia i la fotogrametria són els camps en què té lloc la producció de models digitals d'elevacions més que no pas l'ús. Tot i així, hi ha aplicacions específiques dels models digitals d'elevacions en topografia i en fotogrametria com són la producció d'ortofotomapes i ortoimatges, mitjançant ortorectificació, i la producció de cartografia topogràfica.

Enginyeria civil

Els models digitals d'elevacions s'utilitzen molt en enginyeria civil per al disseny de carreteres, infraestructures i emplaçaments d'obres com és ara embassaments, ponts, o mines a cel obert. L'ús dels models digitals d'elevacions en aquest cas és, no obstant, molt específic, orientat sobretot al disseny de plànols, la visualització 3D i simulació del paisatge i els càlculs de volums i de moviments de terres, en lloc de la funcionalitat general d'anàlisi del terreny pròpia dels sistemes d’informació geogràfica emprada en altres camps d'aplicació. En aquest sentit el programari utilitzat és propi del camp d'aplicació, generalment es tracta d'aplicacions de disseny assistit per ordinador especialitzades per a enginyeria civil.

Gestió de recursos naturals i planificació territorial

Comprèn les aplicacions d'un bon nombre de disciplines diverses com enginyeria forestal, agronomia, edafologia, planificació urbana, ecologia, ciències ambientals, geografia, arqueologia, meteorologia i climatologia, entre d'altres. Les aplicacions en aquesta àrea són molt diverses, des de les avaluacions d'impacte ambiental fins a la planificació de la localització d'activitats, passant pels plans de gestió forestal o agrícola i l'anàlisi dels hàbitats, de la biodiversitat i l'ecologia del paisatge. El tret característic d'aquesta àrea d'aplicació és l'ús aplicat dels models digitals d'elevacions, la necessitat d'una àmplia funcionalitat d'operacions d'anàlisi del terreny i la forta integració de les dades d'elevacions i productes derivats dels MDE amb les dades temàtiques de cada camp d'aplicació.

Ciències de la terra

La geologia, la hidrologia i la geografia física són camps d'aplicació amb usos i necessitats semblants als de la gestió de recursos i planificació territorial, però tenen algunes particularitats a part. D'una banda l'anàlisi de les formes del relleu en si té especial èmfasi en camps com la geomorfologia, mentre que la hidrologia requereix tota un conjunt espefíic de funcions d'anàlisi hidrològica dins de l'anàlisi del terreny. D'altra banda, la geologia requereix aplicacions de modelització 3D més enllà de la cartografia bidimensional clàssica i de la representació del relleu per mitjà de superfícies.

Aplicacions militars

Les aplicacions militars dels models digitals d'elevacions són molt nombroses, ja que el terreny és un dels princiapls entorns de les operacions militars. En aquest sentit, les agències militars són productores destacades de models digitals d'elevacions per a usos propis o generals. Pel que fa a l'ús dels models digitals d'elevacions les aplicacions militars combinen tasques i funcionalitat pròpia de totes les àrees d'aplicació dels models digitals d'elevacions.

Principals fonts de dades de models digitals d'elevacions

La majoria de les agències cartogràfiques governamentals o d'altres administracions públiques d'arreu del món produeixen i distribueixen dades de models digitals d'elevacions del seu àmbit territorial, sovint en diferents resolucions. D'entre 1 i 30 m, bé pel fet de tractar-se d'àmbits urbans o rurals, o bé pel fet de ser diferents versions o productes de diferent generació.

Alguns organismes i projectes, principalment nord-americans, han produït i distribueixen també models digitals d'elevacions d'àmbit global, amb resolucions que van des de gairebé 10 km fins a 30 m. Fins i tot, a nivell gairebé anecdòtic, hi ha disponible també un model digital d'elevacions de la superfície de Mart (MOLA MEGDR), excepte les zones polars.

El Tibet vist segons el model digital d'elevacions d'àmbit global ETOPO2, de 3,7 km de resolució.
Font: NOAA, National Geophysical Data Center.

Una bona part d'aquestes dades de models digitals d'elevacions són de distribució gratuïta, d'acord amb la tendència creixent a l'accés públic a la informació geoespacial d'ençà de la creació d'infraestructures de dades espacials. La taula següent detalla alguns dels principals models digitals d'elevacions disponibles.

 

Temes relacionats

• Interpolació espacial
• Krigatge
• Model de dades ràster
• Model digital d'elevacions
• Mostreig espacial
• Polígons de Thiessen
• Sistemes d’informació geogràfica
• Superfície
• Xarxa irregular de triangles

Referències

Bauhuber, F.; Erlacher, V. and Gunther, P. (1975) "A Programming System for the Manipulation of Digital Terrain Models" (in German). Organ der Deutschen Gesellschaft fur Photogrammetrie, 43, 104-107.

Chen, Z. and Guevara, J.A. (1987) "Systematic selection of very important points (VIP) from digital terrain models for construction triangular irregular networks", in Proceedings of AutoCarto 8. Falls Church, Virginia: ASPRS/ACSM.

Dueppe, R. D. and Gottschalk, H. J.  (1970) "Automatische Interpolation von Isolinien bei willkuerlich verteilten Stuetzpunkten", Allgemeine Vermessungs-Nachrichten, 129, 10, 423-426.

Fowler, R.J. and Little, J.J. (1979) "Automatic extraction of irregular network digital terrain models", Computer Graphics, 13, 199-207.

Gates, W.E. (1974) A Land Based Modelling System for Water Quality Management Studies, Report for Virginia Electric and Power.

Hutchinson, M.F. (1988) "Calculation of hydrologically sound digital elevation models" in Proceedings of Third International Symposium on Spatial Data Handling, Sydney. Columbus, Ohio: International Geographical Union

Hutchinson, M.F. (1989) "A new procedure for gridding elevation and stream line data with automatic removal of spurious pits", Journal of Hydrology, 106, 211-232.

Hutchinson, M.F. (1996) "A locally adaptive approach to the interpolation of digital elevation models" in Proceedings of Third International Conference/Workshop on Integrating GIS and Environmental Modeling, Santa Fe. Santa Barbara, California: National Center for Geographic Information and Analysis.

Klinkenberg, B. (1990) "Digital elevation models" in M.F. Goodchild and K.K. Kemp (eds.) NCGIA Core Curriculum in GIS, Unit 38. National Center for Geographic Information and Analysis, University of California, Santa Barbara.

Li, Z.; Zhu, Q. and Gold, C. (2005) Digital terrain modeling: principles and methodology. Boca Raton, Florida: CRC Press.

Makarovic, B. (1973) "Progressive sampling for digital terrain models", ITC Journal, 3, 397-416.

Makarovic, B. (1977) "Composite sampling for digital terrain models", ITC Journal, 3, 406-433.

Maune, D. (2006) (ed.) Digital Elevation Model Technologies and Applications: The DEM Users Manual, 2nd edition. Bethesda, Maryland: American Society for Photogrammetry and Remote Sensing.

Mcglone, J.C. (2008) "Photogrammetric products" in Shekar, S. and Xiong, H. (eds.) Encyclopedia of GIS. New York: Springer.

Miller, C.L. and Laflamme, R.A. (1958) "The digital terrain model. Theory and application", Photogrammetric Engineering, 24, 3, 433-442.

Peucker, T.K. (1972) Computer Cartography. Commission on College Geography, Resource Paper No. 17, Washington DC: Association of American Geographers.

Peucker, T.K.; Fowler, R.J.; Little, J.J. and Mark, D.M. (1975) Digital Representation of Three-Dimensional Surfaces by Triangulated Irregular Networks (TIN). Tech. Rept. 10, ONR Contract #N00014-75-C-0886. Burnaby, British Columbia, Canada: Department of Geography, Simon Fraser University.

Peucker, T.K. (1978) "Data structures for digital terrain models: discussion and comparison" in Dutton, G. H. (ed.) Proceedings of the Advanced Study Symposium on Topological Data Structures for Geographic Information Systems. Harvard Papers on Geographic Information Systems 5. Cambridge, Massachussets: Laboratory for Computer Graphics and Spatial Analysis, Harvard University.

Podobnikar, T. (2009) "Methods for visual quality assessment of a digital terrain model", S.A.P.I.EN.S., Surveys and Perspectives Integrating Environment & Society [Online], 2, 2. [Disponible a http://sapiens.revues.org/738. Consulta: 24 agost 2012]

Rhynsburger, D. (1973) "Analytic Delineation of Thiessen Polygons", Geographical Analysis, 5, 2, 133-144.

Sinton, D.F. and Steinitz, C.F. (1969) GRID: A user's manual, Cambridge, Massachussets: Laboratory for Computer Graphics and Spatial Analysis, Graduate School of Design, Harvard University.

Tomlinson, R.F. (1967) An Introduction to the Geographic Information System of the Canada Land Inventory. Ottawa: Department of Forestry and Rural Development.

Weibel, R. and Heller, M. (1991) "Digital Terrain Modelling" in Maguire, D.; Goodchild, M. and Rhind, D.W. (eds.) Geographical Information Systems. Principles and Applications, Harlow: Longman.

Wilson, J.P., and Gallant, J.C. (2000) (eds.) Terrain Analysis: Principles and Applications. New York: Wiley.

Lectures recomanades

Burrough, P.A. (1986) Principles of Geographical Information Systems for Land Resources Assessment, Oxford, UK, Clarendon Press. Chapter 3.

Felicísimo, A.M. (1994) Modelos digitales del terreno. Oviedo: Universidad de Oviedo.

Li, Z.; Zhu, Q. and Gold, C. (2005) Digital terrain modeling: principles and methodology. Boca Raton, Florida: CRC Press.

Weibel, R. and Heller, M. (1991) "Digital Terrain Modelling" in Maguire, D.; Goodchild, M. and Rhind, D.W. (eds.) Geographical Information Systems. Principles and Applications, Harlow: Longman.